Lagrange恒等式:

$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})=(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\times\vec{d})-(\vec{b}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{d})$$

证明：令

  $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$,$b=(b_1,b_2,b_3)$,$c=(c_1,c_2,c_3)$,$d=(d_1,d_2,d_3)$.则

$$(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\times\vec{d})-(\vec{b}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{d}=\begin{vmatrix}

\vec{a}\cdot\vec{c}&\vec{a}\cdot\vec{d}\\

\vec{b}\cdot\vec{c}&\vec{b}\cdot\vec{d}\\

  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}

    a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3&a_1d_1+a_2d_2+a_3d_3\\

b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3&b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3\\

  \end{vmatrix}$$

而

$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})=\begin{vmatrix}

\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\

a_1&a_2&a_3\\

b_1&b_2&b_3\\

\end{vmatrix}\begin{vmatrix}

\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\

  c_1&c_2&c_3\\

d_1&d_2&d_3\\

\end{vmatrix}

$$

一个个元素分析过来，显然，两者是相等的.拉格朗日恒等式得证.$\Box$